∀ε>0∃δ>0∀x∈A.(0<f(x)<δ⇒g(x)<ε)を導出する方針

$ \forall \varepsilon>0\exist\delta>0\forall x\in A.(0<f(x)<\delta\implies g(x)<\varepsilon)を導出する方針

1. 条件$ P(f(x),\varepsilon)\implies g(x)<\varepsilonを満たす$ P(f(x),\varepsilon)を見つける

$ Pは$ xを$ f(x)の形以外では含まない

大抵は$ 0<f(x)<p_0(\varepsilon)\land f(x)<p_1(\varepsilon)\land\cdots\land f(x)<p_n(\varepsilon)という形になる

この作業では三角不等式を多用する

2. 条件$ 0<f(x)<h(\varepsilon)\implies P(f(x),\varepsilon)を満たす$ h(\varepsilon)を見つける

$ hは式中に$ xを含まない

この変形では最大値が便利

$ Pが複数の不等式の論理積で構成されている場合、$ 0<f(x)<\alpha\land f(x)<\beta\iff 0<f(x)<\max\{\alpha,\beta\}と一つにまとめることができる

3. あとは∃に関する存在定理を用いて変形していけば良い

$ \forall\varepsilon>0\forall x\in A;(0<f(x)<h(\varepsilon)\implies g(x)<\varepsilon)

$ \iff\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\begin{dcases}\delta=h(\varepsilon)\\\forall x\in A;(f(x)<\delta\implies g(x)<\varepsilon)\end{dcases}

$ \underline{\implies\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in A;(f(x)<\delta\implies g(x)<\varepsilon)\quad}_\blacksquare

例：$ \forall \varepsilon>0\exist\delta>0\forall x\in\R;(0<|x-2|<\delta\implies |x^2-4|<\varepsilon)を示す

1. $ |x^2-4|=|x-2||x+2|

$ \le|x-2|(|x-2|+|4|)

$ \because |x+2|=|x-2+4|\le|x-2|+|4|

ここから$ <\varepsilonへ変形するために必要な論理式を探す

いろいろ作って試してみるとよい

今回は$ |x-2|<1\land|x-2|<\frac{\varepsilon}{5}を使うことにする

他にも使える論理式は無数にある

$ |x-2|(|x-2|+|4|)<\frac\varepsilon5(1+4)=\varepsilon

$ \therefore|x-2|<1\land|x-2|<\frac{\varepsilon}{5}\implies |x^2-4|<\varepsilon

2. $ \maxでまとめる

$ 0<|x-2|<\max\left\{1,\frac\varepsilon5\right\}\implies0<|x-2|<1\land|x-2|<\frac{\varepsilon}{5}\implies |x^2-4|<\varepsilon

$ \therefore \forall\varepsilon>0\forall x\in\R;\left(0<|x-2|<\max\left\{1,\frac\varepsilon5\right\}\implies |x^2-4|<\varepsilon\right)

3. おわり

$ \underline{\therefore\forall \varepsilon>0\exist\delta>0\forall x\in\R;(0<|x-2|<\delta\implies |x^2-4|<\varepsilon)\quad}_\blacksquare